Thực đơn
Phép_biến_đổi_Laplace Bảng các biến đổi LaplaceVì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên
Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).
STT | Hàm | Hàm gốc (miền t) x ( t ) = L − 1 { X ( s ) } {\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}} | Hàm ảnh (miền s) X ( s ) = L { x ( t ) } {\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}} | Miền hội tụ |
---|---|---|---|---|
1 | trễ lý tưởng | δ ( t − τ ) {\displaystyle \delta (t-\tau )\ } | e − τ s {\displaystyle e^{-\tau s}\ } | |
1a | xung đơn vị | δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)\ } | 1 {\displaystyle 1\ } | mọi s |
2 | trễ mũ n với dịch chuyển tần số | ( t − τ ) n n ! e − α ( t − τ ) ⋅ u ( t − τ ) {\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )} | e − τ s ( s + α ) n + 1 {\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
2a | mũ n (cho số nguyên n) | t n n ! ⋅ u ( t ) {\displaystyle {t^{n} \over n!}\cdot u(t)} | 1 s n + 1 {\displaystyle {1 \over s^{n+1}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
2a.1 | mũ q (cho số thực q) | t q Γ ( q + 1 ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle {t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)} | 1 s q + 1 {\displaystyle {1 \over s^{q+1}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
2a.2 | bậc thang đơn vị | u ( t ) {\displaystyle u(t)\ } | 1 s {\displaystyle {1 \over s}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
2b | bậc thang đơn vị có trễ | u ( t − τ ) {\displaystyle u(t-\tau )\ } | e − τ s s {\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
2c | dốc | t ⋅ u ( t ) {\displaystyle t\cdot u(t)\ } | 1 s 2 {\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
2d | mũ n với dịch chuyển tần số | t n n ! e − α t ⋅ u ( t ) {\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)} | 1 ( s + α ) n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}} | Re { s } > − α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,} |
2d.1 | suy giảm hàm mũ | e − α t ⋅ u ( t ) {\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ } | 1 s + α {\displaystyle {1 \over s+\alpha }} | Re { s } > − α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \ } |
3 | tiệm cận hàm mũ | ( 1 − e − α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ } | α s ( s + α ) {\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ } |
4 | sine | sin ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ } | ω s 2 + ω 2 {\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ } |
5 | cosine | cos ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ } | s s 2 + ω 2 {\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ } |
6 | hyperbolic sine | sinh ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ } | α s 2 − α 2 {\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}} | Re { s } > | α | {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ } |
7 | hyperbolic cosine | cosh ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ } | s s 2 − α 2 {\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}} | Re { s } > | α | {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ } |
8 | hàm sine suy giảm theo hàm mũ | e α t sin ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ } | ω ( s − α ) 2 + ω 2 {\displaystyle {\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ } |
9 | hàm cosine suy giảm theo hàm mũ | e α t cos ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ } | s − α ( s − α ) 2 + ω 2 {\displaystyle {s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}} | Re { s } > α {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ } |
10 | căn bậc n | t n ⋅ u ( t ) {\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)} | s − ( n + 1 ) / n ⋅ Γ ( 1 + 1 n ) {\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
11 | logarit tự nhiên | ln ( t t 0 ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)} | − t 0 s [ ln ( t 0 s ) + γ ] {\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
12 | hàm Bessel of the first kind, of order n | J n ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)} | ω n ( s + s 2 + ω 2 ) − n s 2 + ω 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} ( n > − 1 ) {\displaystyle (n>-1)\,} |
13 | hàm Bessel biến đổi loại 1, bậc n | I n ( ω t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle I_{n}(\omega t)\cdot u(t)} | ω n ( s + s 2 − ω 2 ) − n s 2 − ω 2 {\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}} | Re { s } > | ω | {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,} |
14 | hàm Bessel loại hai, bậc 0 | Y 0 ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)} | − 2 sinh − 1 ( s / α ) π s 2 + α 2 {\displaystyle -{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
15 | hàm Bessel biến đổi loại hai, bậc 0 | K 0 ( α t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)} | ||
16 | hàm sai số | e r f ( t ) ⋅ u ( t ) {\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)} | e s 2 / 4 ( 1 − erf ( s / 2 ) ) s {\displaystyle {e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}} | Re { s } > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,} |
chú thích:
|
Thực đơn
Phép_biến_đổi_Laplace Bảng các biến đổi LaplaceLiên quan
Phép cộng Phép biến đổi Laplace Phép nhân Phép toán thao tác bit Phép chia Phép màu đã cho ta gặp nhau Phép toán modulo Phép hợp Phép thuật (phim truyền hình) Phép trừTài liệu tham khảo
WikiPedia: Phép_biến_đổi_Laplace http://www.intmath.com/Laplace/1a_lap_unitstepfns.... http://www.syscompdesign.com/tech.htm http://www.vibrationdata.com/Laplace.htm http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/LaplaceTra... http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_T... http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=en&+module... http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans...